在考研数学中，积分是常考的重点和难点。以下是一道典型的积分题目：
题目：计算定积分 $\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx$。
解题思路：
1. 首先，我们注意到积分区间是 $[0, \pi]$，这是一个对称区间，而 $x^2$ 是一个偶函数，$\sin x$ 是一个奇函数。根据奇偶函数的性质，我们可以将积分区间分为两部分，即 $\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx$。
2. 接下来，我们采用分部积分法。设 $u = x^2$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = 2x \, dx$，$v = -\cos x$。根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有：
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x \cos x \, dx
\]
3. 再次使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \cos x \, dx$，则 $du = dx$，$v = \sin x$。代入上式，得到：
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x \cos x \, dx = 2x \sin x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \, dx
\]
4. 最后，计算得到：
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \, dx = -2\cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = 2
\]
将上述结果代入原式，得到：
\[
\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = -\pi^2 \cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + 2x \sin x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} - 2\cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\pi^2 + 2
\]
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