2020考研数学一真题第11题解题思路与常见误区剖析

2020年考研数学一真题第11题是一道关于函数零点与导数应用的综合性大题，涉及介值定理、拉格朗日中值定理等多个知识点，难度较大。不少考生在答题过程中容易陷入误区，导致失分。本文将结合真题，从解题思路和常见错误两个方面进行详细剖析，帮助考生更好地理解题目考查的核心考点。

题目回顾与解题步骤

这道题目要求证明函数f(x) = xsinx cosx在(0, π)区间内存在唯一的零点，并求出该零点所在的区间。解题过程可分为三个步骤：

证明零点存在性的关键点

证明零点存在性时，考生需要明确介值定理的应用条件。具体来说，函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则存在c∈(a,b)，使得f(c) = 0。在本题中，由于f(x)是初等函数，在(0, π)区间内连续，且f(0) = -1，f(π) = π 1 > 0，满足介值定理条件，因此可以断定存在零点。

值得注意的是，有些考生会误将(0, π)区间误认为闭区间，从而忽略端点值的计算。正确做法是先验证函数在开区间(0, π)内连续，再计算端点值，确保符号相反。部分考生会错误地选择(0, π/2)或(π/2, π)作为验证区间，导致证明过程不完整。实际上，只要找到任意一个包含零点的区间，验证其端点函数值异号即可。

分析零点唯一性的方法

证明零点唯一性时，导数分析是关键。考生需要计算f'(x) = sinx + xcosx sinx = xcosx，然后分析导数的符号变化。由于在(0, π)区间内，cosx始终大于0，且x>0，因此f'(x)在(0, π/2)内大于0，在(π/2, π)内小于0。这表明f(x)在(0, π/2)内单调递增，在(π/2, π)内单调递减。

根据单调性，可以得出结论：若存在两个零点α<β，则必有f(α) < f(β)，这与介值定理矛盾。因此零点唯一。部分考生会忽略导数等于0的情况分析，导致证明不严谨。实际上，虽然f'(π/2) = 0，但由于这是极值点，不影响单调性分析。正确做法是明确导数等于0的点不改变函数单调性。

确定零点所在区间的技巧

最后一步需要考生结合函数值与单调性确定零点所在区间。由于f(0) = -1，f(π/4) = √2/2 1/2 > 0，且f(x)在(0, π/2)内单调递增，因此零点必在(0, π/4)内。类似地，由于f(π/2) = π/2 1 > 0，f(3π/4) = √2/2 + 1/2 > 0，且f(x)在(π/2, π)内单调递减，可以排除(π/2, π)内的可能。

正确确定区间的方法是：先找到使函数值符号改变的区间，再结合单调性缩小范围。部分考生会错误地选择过小的区间，如(0, π/2)，导致无法确定唯一零点。实际上，只要找到任意一个包含零点的区间，且该区间内函数保持单调，即可确定零点唯一。