2022年考研数学三真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共10题，共50分）
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，则 \( f(x) \) 的零点为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
答案：A
2. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( |A^{-1}| \) 等于（ ）
A. \( |A| \) B. \( |A|^{-1} \) C. \( |A|^{n-1} \) D. \( |A|^{n} \)
答案：B
二、填空题（每题5分，共10题，共50分）
1. 设 \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} \)，则 \( f'(1) = \) ___________。
答案：2
2. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则 \( |A| = \) ___________。
答案：2
三、解答题（每题20分，共5题，共100分）
1. 设 \( f(x) = e^{ax} + e^{-ax} \)，其中 \( a \) 是常数，求 \( f(x) \) 的导数。
答案：\( f'(x) = ae^{ax} - ae^{-ax} \)
2. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的逆矩阵。
答案：\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
3. 设 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 在区间 [0, 1] 上的最大值和最小值。
答案：最大值为1，最小值为0
4. 设 \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} \)，求 \( f(x) \) 的极值点。
答案：\( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极小值0。
5. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，\( B \) 是 \( n \) 阶非可逆矩阵，证明 \( AB \) 是非可逆矩阵。
答案：\( A \) 是可逆矩阵，则 \( |A| \neq 0 \)；\( B \) 是非可逆矩阵，则 \( |B| = 0 \)。由于 \( AB \) 是 \( n \) 阶矩阵，\( |AB| = |A||B| = |A| \cdot 0 = 0 \)，所以 \( AB \) 是非可逆矩阵。
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