关键词：考研数学题答案
在考研数学的征途上，每一道难题都是对智慧的挑战。以下是对一道典型考研数学题的解答：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的极值。
解答：
1. 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
3. 对$f'(x)$求二阶导数$f''(x) = 6x - 6$。
4. 将$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$分别代入$f''(x)$，得$f''(1) = 0$和$f''(\frac{2}{3}) = -2$。
5. 由于$f''(1) = 0$，需进一步判断$f(x)$在$x = 1$处的极值性质。计算$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1 = 3$。
6. 由于$f''(\frac{2}{3}) < 0$，故$x = \frac{2}{3}$处为$f(x)$的极大值点，计算$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) + 1 = \frac{5}{27}$。
综上，$f(x)$在$x = 1$处取得极大值3，在$x = \frac{2}{3}$处取得极小值$\frac{5}{27}$。
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