线性方程组在考研数学中是一个重要的考点，以下是一道典型的线性方程组真题：
真题：设线性方程组
\[
\begin{cases}
x + 2y - z = 1 \\
2x + y + 3z = 2 \\
3x + 4y + 2z = 3
\end{cases}
\]
的系数矩阵为 \(A\)，增广矩阵为 \(B\)。已知 \(r(A) = 2\)，求该方程组的通解。
解答：
首先，我们需要对系数矩阵 \(A\) 进行行简化操作，以确定其秩。根据题目条件，\(r(A) = 2\)，这意味着 \(A\) 的秩为2，即 \(A\) 的行简化阶梯形矩阵有2个非零行。
对系数矩阵 \(A\) 进行行简化操作：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
0 & -3 & 5 \\
0 & -2 & 5
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_3 - \frac{2}{3}r_2}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
0 & -3 & 5 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
由于 \(r(A) = 2\)，我们可以得到方程组的基础解系。设 \(x_3 = t\)（\(t\) 为任意常数），则
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
0 & -3 & 5 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
\]
化简得：
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\
-3x_2 + 5x_3 = 2
\end{cases}
\]
由第二个方程得 \(x_2 = \frac{5}{3}x_3 - \frac{2}{3}\)，代入第一个方程得 \(x_1 = \frac{1}{3}x_3 + \frac{2}{3}\)。因此，方程组的通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} \\
\frac{5}{3} \\
1
\end{pmatrix}
t
+
\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} \\
-\frac{2}{3} \\
0
\end{pmatrix}
\]
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