在考研征途上，多元函数微分学的题目往往能检验我们对知识点的深度理解。以下是对这一领域的经典真题的解析：
1. 题目一：设函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，求 \( f \) 在点 \( (1,1) \) 处的偏导数。
解答：在点 \( (1,1) \) 处，\( f_x = 2x \)，\( f_y = 2y \)，所以 \( f_x(1,1) = 2 \)，\( f_y(1,1) = 2 \)。
2. 题目二：证明：若 \( f(x, y) \) 在区域 \( D \) 内连续，且 \( \frac{\partial f}{\partial x} \) 和 \( \frac{\partial f}{\partial y} \) 在 \( D \) 内连续，则 \( f \) 在 \( D \) 内可微。
解答：由微分学的中值定理，存在 \( \xi \) 和 \( \eta \) 在 \( (x, y) \) 和 \( (x+h, y+k) \) 之间，使得
\[
\frac{f(x+h, y+k) - f(x, y)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \frac{\partial f}{\partial x}\xi + \frac{\partial f}{\partial y}\eta
\]
由于 \( \frac{\partial f}{\partial x} \) 和 \( \frac{\partial f}{\partial y} \) 连续，\( \xi \) 和 \( \eta \) 趋向于零，从而证明 \( f \) 在 \( D \) 内可微。
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