数学考研中的极限与连续问题深度解析
数学考研中的极限与连续问题是考察考生对微积分基础概念理解程度的重点内容。这类题目往往综合性强，不仅涉及极限的计算，还常常与函数的连续性、可导性等知识点结合，对考生的逻辑思维和计算能力提出了较高要求。在历年真题中，这类问题常以证明题、选择题和填空题的形式出现，其中证明题的难度较大，需要考生熟练掌握ε-δ语言等数学工具。本文将针对几个典型的极限与连续问题进行详细解析，帮助考生理清解题思路，掌握核心方法。
问题一：极限计算中的“抓大放小”技巧应用
在考研数学中，计算“抓大放小”型极限是常见考点，这类题目通常涉及无穷小量的比较和主导项的提取。例如，计算极限 lim(x→0) (x2sin(x) x3cos(x))/x? 的值。很多同学在遇到这类问题时容易陷入复杂的三角函数展开计算，导致思路混乱。其实，正确的方法是抓住主导项x2sin(x)中的x2，而忽略高阶无穷小x3cos(x)。具体步骤如下：
- 首先观察分子中各项的阶数：x2sin(x)是x2级，x3cos(x)是x3级，x?是x?级。
- 根据无穷小量比较原理，高阶无穷小量在极限计算中可以忽略不计，因此原极限≈lim(x→0) (x2sin(x))/x?。
- 将x2sin(x)替换为x2·x（因为sin(x)~x），得到lim(x→0) (x3)/x? = lim(x→0) 1/x = 1。
这种“抓大放小”的技巧在考研数学中应用广泛，关键在于准确判断各项的无穷小阶数。建议考生多练习这类题目，熟练掌握主导项的提取方法，避免在考试中因过度计算而浪费时间。
问题二：函数连续性的证明方法与典型错误
证明函数在某点连续是考研数学中的常见题型，很多考生在解题时会犯一些典型错误。例如，证明函数f(x) = x2·sin(1/x)在x=0处连续。部分同学会直接代入x=0得到f(0)=0，然后错误地认为函数在x=0处连续。这种做法忽略了连续性的三要素：函数在该点有定义、极限存在且极限值等于函数值。正确证明方法如下：
- 首先补充定义：f(0)=0，使函数在x=0处有定义。
- 计算极限：lim(x→0) x2sin(1/x) = 0（因为x2→0，sin(1/x)有界）。
- 验证三要素：f(0)=0，lim(x→0) f(x)=0，因此函数在x=0处连续。
在证明过程中，考生常犯的错误包括：忽视补充定义环节、错误使用极限运算法则（如认为sin(1/x)~1/x）、不完整验证连续性三要素等。建议考生牢记连续性的定义，遇到这类题目时，先检查函数是否在该点有定义，再计算极限，最后验证三要素是否满足。
问题三：闭区间上连续函数性质的灵活应用
闭区间上连续函数的性质是考研数学中的重点内容，常与最值定理、介值定理结合出证明题。例如，已知f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，证明存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=f(ξ+1/2)。很多同学看到题目后不知道如何下手，其实这属于典型的利用构造函数法证明介值定理问题。具体证明过程如下：
- 构造辅助函数F(x) = f(x) f(x+1/2)。
- 由f(x)在[0,1]上连续，得F(x)在[0,1/2]上连续。
- 计算端点值：F(0)=f(0)-f(1/2)，F(1/2)=f(1/2)-f(1)。
- 由于f(0)=f(1)，所以F(0)=-F(1/2)，即F(0)F(1/2)≤0。
- 根据零点定理，存在ξ∈(0,1/2)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+1/2)。
这类题目需要考生灵活运用闭区间上连续函数的性质，关键在于构造合适的辅助函数。建议考生多练习这类构造函数证明题，掌握常见辅助函数的构造模式，如F(x)=f(x)-c、F(x)=f(x)-f(a)等，这样才能在考试中快速找到解题思路。