在深入研究考研数学一真题的基础上，以下是对部分题目的原创答案解析：
1. 线性代数：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案：特征值 \( \lambda_1 = 5, \lambda_2 = -1 \)，对应的特征向量分别为 \( \vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( \vec{v_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
2. 概率论：已知随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda = 0.5 \) 的泊松分布，求 \( P(X \geq 3) \)。
答案：\( P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \approx 0.3463 \)。
3. 高等数学：求函数 \( f(x) = e^x \sin x \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
答案：\( f(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots \)。
4. 复变函数：设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，其中 \( u(x, y) = x^2 - y^2 \)，求 \( f(z) \) 的解析形式。
答案：\( f(z) = (x^2 - y^2) + i(2xy) \)，解析形式为 \( f(z) = z^2 \)。
5. 常微分方程：解微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = 0 \)。
答案：通解为 \( y = e^{t} (C_1 \cos t + C_2 \sin t) \)。
通过以上解析，相信大家对考研数学一真题有了更深的理解。为了更好地准备考研，推荐使用【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，顺利通关考研！【考研刷题通】——你的考研刷题好帮手！