2021年考研数学三试题及答案如下：
试题部分：
一、选择题（每题5分，共15分）
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(1) \) 等于：
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
2. 下列数列中，收敛于0的是：
A. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\)
B. \(1, 1/2, 1/3, \ldots\)
C. \(1, 1/2, 1/4, \ldots\)
D. \(1, 2, 4, \ldots\)
3. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的行列式值为：
A. \(|A|\)
B. \(|A|^{-1}\)
C. \(|A|^{n}\)
D. \(|A|^{-n}\)
二、填空题（每题5分，共15分）
4. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f''(0) \) 等于 _______。
5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于 _______。
6. 设 \( A \) 和 \( B \) 是两个 \( n \) 阶矩阵，且 \( AB = 0 \)，则 \( \det(AB) \) 等于 _______。
三、解答题（每题20分，共60分）
7. （证明题）证明：若 \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \)，则 \( \lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} \) 不一定存在。
8. （计算题）计算定积分 \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)。
9. （线性代数题）已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案部分：
一、选择题
1. B
2. A
3. B
二、填空题
4. 1
5. 2
6. 0
三、解答题
7. （证明题）略
8. （计算题）\( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3} \)
9. （线性代数题）略
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