2022年考研数学二试题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数在给定区间内连续的是：（ ）
A. $f(x) = x^2$，区间为$[-1, 2]$
B. $g(x) = \frac{1}{x}$，区间为$[0, 1]$
C. $h(x) = |x|$，区间为$[-1, 1]$
D. $k(x) = \sqrt{x}$，区间为$[0, -1]$
2. 下列极限值正确的是：（ ）
A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
B. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$
C. $\lim_{x \to 0} (x^2 - 1)^{\frac{1}{x}} = e^{-2}$
D. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
3. 二阶线性微分方程$y'' + y = e^x$的通解是：（ ）
A. $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x$
B. $y = C_1 e^x + C_2 x e^x$
C. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
D. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + x e^x$
4. 下列积分中，正确的是：（ ）
A. $\int_0^{\pi} x^2 \, dx = \frac{\pi^3}{3}$
B. $\int_0^1 \frac{1}{x} \, dx = \ln 1 - \ln 0 = \infty$
C. $\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \ln e - \ln 1 = 1$
D. $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = 0$
二、填空题
5. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + C$
6. 若函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 7x + 12}$，则$f'(2) = -\frac{1}{3}$
三、解答题
7. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，求$f(x)$的极值。
8. 已知直线$y = 2x + 3$与圆$x^2 + y^2 = 9$相交，求交点坐标。
9. 设向量$\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (2, 1, -1)$，求$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$和$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角余弦值。
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