2020年考研数学一真题第十一题涉及的是线性代数领域，具体内容是：已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的伴随矩阵\( A^* \)。
解答如下：
首先，计算矩阵\( A \)的行列式\( |A| \)：
\[ |A| = 1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) - 2 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) + 3 \times (4 \times 5 - 5 \times 7) = 0 \]
由于\( |A| = 0 \)，矩阵\( A \)是奇异的，但我们可以求出\( A \)的伴随矩阵\( A^* \)。
伴随矩阵\( A^* \)的每一列是由\( A \)的各列代换为\( A \)的其余列并求代数余子式得到的。具体来说：
\( A^* \)的第一列是\( A \)的第一列的代数余子式组成的列，即：
\[ \begin{bmatrix} 5 \times 9 - 6 \times 8 & -1 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) & 1 \times (4 \times 5 - 5 \times 7) \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 3 & -6 & 6 \end{bmatrix}^T \]
同理，\( A^* \)的第二列和第三列分别是\( A \)的第二列和第三列的代数余子式组成的列，计算可得：
\[ A^* \text{的第二列} = \begin{bmatrix} -1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) & 1 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) & -1 \times (4 \times 5 - 5 \times 7) \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -6 \end{bmatrix}^T \]
\[ A^* \text{的第三列} = \begin{bmatrix} -1 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) & 1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) & -1 \times (5 \times 7 - 4 \times 6) \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 6 & -3 & 3 \end{bmatrix}^T \]
因此，伴随矩阵\( A^* \)为：
\[ A^* = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 6 \\ -6 & 6 & -3 \\ 6 & -6 & 3 \end{bmatrix} \]
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