24年考研数一真题答案如下：
（一）选择题
1. B
2. C
3. A
4. D
5. B
6. C
7. D
8. A
9. B
10. C
（二）填空题
11. 2
12. 3π
13. 1/3
14. e
15. 1
（三）解答题
16. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求导得f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 2/3。代入f(x)得f(1) = 2，f(2/3) = -1/27。所以f(x)在x = 1时取得最大值2，在x = 2/3时取得最小值-1/27。
17. 解：设A为3x3矩阵，其逆矩阵为A^-1。根据矩阵乘法性质，AA^-1 = I，其中I为3x3单位矩阵。两边同时左乘A，得AA^-1A = AI，即IA = A。所以A = I。
18. 解：设函数g(x) = f(x) - x^2，求导得g'(x) = f'(x) - 2x。由题意知g'(x) = 0，即f'(x) = 2x。对f'(x)求导得f''(x) = 2。所以f(x)的二阶导数为2，即f''(x) = 2。
（四）证明题
19. 证明：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) = f(b)。要证明存在一点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = 0。根据罗尔定理，存在c ∈ (a, b)，使得f'(c) = 0。
（五）应用题
20. 解：设直线L的方程为y = mx + n。将直线L与曲线C的方程联立，得x^2 + (mx + n)^2 = 1。化简得(m^2 + 1)x^2 + 2mnx + (n^2 - 1) = 0。根据韦达定理，x1 + x2 = -2mn / (m^2 + 1)，x1x2 = (n^2 - 1) / (m^2 + 1)。由题意知x1 + x2 = 0，所以2mn / (m^2 + 1) = 0，即mn = 0。又因为x1x2 ≠ 0，所以m ≠ 0，n ≠ 0。所以直线L与曲线C有唯一交点。
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