2015年考研数学一真题答案如下：
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 下列函数中，可导的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = x^2 \)
C. \( f(x) = \sqrt{x} \)
D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
答案：A
2. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f'(1) \) 等于（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 3
答案：B
3. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(0) \) 等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A
4. 下列极限中，正确的是（ ）
A. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
B. \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \)
C. \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \)
D. \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \)
答案：B
5. 设 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，则 \( f''(1) \) 等于（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
答案：A
6. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f'(x) \) 等于（ ）
A. \( -\frac{1}{x^2} \)
B. \( \frac{1}{x^2} \)
C. \( -\frac{1}{x} \)
D. \( \frac{1}{x} \)
答案：A
7. 设 \( f(x) = \ln x \)，则 \( f'(x) \) 等于（ ）
A. \( \frac{1}{x} \)
B. \( \frac{1}{x^2} \)
C. \( -\frac{1}{x} \)
D. \( -\frac{1}{x^2} \)
答案：A
8. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f''(x) \) 等于（ ）
A. \( e^x \)
B. \( e^x \cdot x \)
C. \( e^x \cdot x^2 \)
D. \( e^x \cdot x^3 \)
答案：A
9. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f''(x) \) 等于（ ）
A. \( \frac{1}{x^2} \)
B. \( -\frac{1}{x^2} \)
C. \( \frac{1}{x^3} \)
D. \( -\frac{1}{x^3} \)
答案：B
10. 设 \( f(x) = \ln x \)，则 \( f''(x) \) 等于（ ）
A. \( \frac{1}{x^2} \)
B. \( -\frac{1}{x^2} \)
C. \( \frac{1}{x^3} \)
D. \( -\frac{1}{x^3} \)
答案：A
二、填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，则 \( f(1) = \) __________。
答案：0
2. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(0) = \) __________。
答案：1
3. 设 \( f(x) = \ln x \)，则 \( f'(1) = \) __________。
答案：1
4. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f'(2) = \) __________。
答案：-1/4
5. 设 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f'(1) = \) __________。
答案：-2
6. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f''(x) = \) __________。
答案：\( e^x \)
7. 设 \( f(x) = \ln x \)，则 \( f''(x) = \) __________。
答案：\( -\frac{1}{x^2} \)
8. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f''(x) = \) __________。
答案：\( \frac{2}{x^3} \)
9. 设 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，则 \( f''(x) = \) __________。
答案：2
10. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f''(x) = \) __________。
答案：\( e^x \)
三、解答题（共10小题，每小题10分，共100分）
1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数。
答案：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)
2. 求函数 \( f(x) = e^x \) 的二阶导数。
答案：\( f''(x) = e^x \)
3. 求函数 \( f(x) = \ln x \) 的导数。
答案：\( f'(x) = \frac{1}{x} \)
4. 求函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 的二阶导数。
答案：\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \)
5. 求函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \) 的二阶导数。
答案：\( f''(x) = 2 \)
6. 求函数 \( f(x) = e^x \) 的三阶导数。
答案：\( f'''(x) = e^x \)
7. 求函数 \( f(x) = \ln x \) 的三阶导数。
答案：\( f'''(x) = -\frac{3}{x^3} \)
8. 求函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 的三阶导数。
答案：\( f'''(x) = \frac{6}{x^4} \)
9. 求函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \) 的三阶导数。
答案：\( f'''(x) = 0 \)
10. 求函数 \( f(x) = e^x \) 的四阶导数。
答案：\( f^{(4)}(x) = e^x \)
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