在2020年考研数一中，第12题是一道关于线性代数的题目，具体内容如下：
设矩阵 \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答如下：
首先，求解特征值。根据特征值的定义，有方程 \(\det(A - \lambda I) = 0\)，其中 \(I\) 是单位矩阵，\(\lambda\) 是特征值。
计算得：
\[
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
\]
解这个二次方程，得到特征值 \(\lambda_1 = -1\) 和 \(\lambda_2 = 2\)。
接下来，求解特征向量。对于特征值 \(\lambda_1 = -1\)，解方程组 \((A + I)x = 0\)，即：
\[
\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}x = 0
\]
解得特征向量 \(x_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
对于特征值 \(\lambda_2 = 2\)，解方程组 \((A - 2I)x = 0\)，即：
\[
\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}x = 0
\]
解得特征向量 \(x_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
综上，矩阵 \(A\) 的特征值为 \(-1\) 和 \(2\)，对应的特征向量分别为 \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
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