2020年考研数学一第二题是一道关于极限的计算题。题目如下：
已知函数 \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{f'(x)} \)。
解题过程如下：
首先，求 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} \]
接着，计算 \( f(x^2) \)：
\[ f(x^2) = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \]
现在，我们需要计算极限：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{f'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(x^2)}{x^2}}{\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x\cos x - \sin x} \]
由于 \( \sin(x^2) \) 在 \( x \to 0 \) 时与 \( x^2 \) 等价无穷小，我们可以使用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x\cos x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x^2)}{-x\sin x + \cos x} \]
再次应用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x^2)}{-x\sin x + \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)}{-\sin x - x\cos x} \]
当 \( x \to 0 \) 时，\( \sin x \) 和 \( \cos x \) 都趋近于 0，所以：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)}{-\sin x - x\cos x} = \frac{2 - 0}{0 - 0} \]
由于分母趋近于 0，我们需要检查是否有无穷大的情况。实际上，当 \( x \to 0 \) 时，分子和分母都趋近于 0，因此我们可以再次应用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)}{-\sin x - x\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{-8x\sin(x^2) - 4x^3\cos(x^2)}{-\cos x - \sin x - x\sin x} \]
当 \( x \to 0 \) 时，所有项都趋近于 0，因此：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{-8x\sin(x^2) - 4x^3\cos(x^2)}{-\cos x - \sin x - x\sin x} = \frac{0}{0} \]
由于极限形式仍然是 \( \frac{0}{0} \)，我们再次应用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{-8x\sin(x^2) - 4x^3\cos(x^2)}{-\cos x - \sin x - x\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-16x^2\cos(x^2) + 12x^2\sin(x^2)}{\sin x + \cos x + x\cos x} \]
当 \( x \to 0 \) 时，所有项都趋近于 0，因此：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{-16x^2\cos(x^2) + 12x^2\sin(x^2)}{\sin x + \cos x + x\cos x} = \frac{0}{0} \]
最终，我们得到的结果是：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{f'(x)} = \frac{0}{0} \]
由于这是一个 \( \frac{0}{0} \) 的不定形式，我们需要进一步分析。注意到当 \( x \to 0 \) 时，\( \sin x \) 和 \( \cos x \) 都趋近于 0，因此我们可以将 \( \sin x \) 和 \( \cos x \) 替换为它们在 \( x \to 0 \) 时的泰勒展开式的前几项：
\[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \]
\[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \]
将这些展开式代入极限中，我们得到：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{-16x^2\cos(x^2) + 12x^2\sin(x^2)}{\sin x + \cos x + x\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{-16x^2(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)) + 12x^2(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))}{x - \frac{x^3}{6} + 1 - \frac{x^2}{2} + x(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4))} \]
简化后，我们得到：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{-16x^2 + 8x^4 + 12x^3 - 2x^5 + O(x^7)}{x + \frac{5x^3}{6} - \frac{x^5}{6} + O(x^7)} \]
由于 \( x^3 \) 和 \( x^5 \) 在 \( x \to 0 \) 时趋近于 0，我们可以进一步简化：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{-16x^2 + 8x^4}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-16x + 8x^3}{1} = 0 \]
因此，最终答案是：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{f'(x)} = 0 \]
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