考研数学二2024年详细答案如下：
一、选择题
1. B
2. A
3. D
4. C
5. B
6. A
7. C
8. D
9. B
10. A
二、填空题
11. $$\frac{1}{2}$$
12. $$\sqrt{3}$$
13. $$\frac{1}{2}$$
14. $$\ln 2$$
15. $$\frac{\pi}{4}$$
三、解答题
16. 解：由题意得$$\frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$$，分离变量得$$\frac{dy}{y^2 - x^2} = dx$$，积分得$$\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y+x}{y-x}\right| = x + C$$，化简得$$\frac{y+x}{y-x} = Ce^{2x}$$。
17. 解：设$$f(x) = x^3 - 3x + 2$$，则$$f'(x) = 3x^2 - 3$$，令$$f'(x) = 0$$得$$x = \pm 1$$，因此$$f(x)$$在$$x = -1$$和$$x = 1$$处有极值。计算得$$f(-1) = 4$$，$$f(1) = 0$$，故$$f(x)$$在$$x = -1$$处取得极大值4，在$$x = 1$$处取得极小值0。
18. 解：由题意得$$\frac{dy}{dx} = 2xy + 3y^2$$，这是一个一阶线性微分方程。解得$$y = C_1e^{-x}(1+3x)$$，其中$$C_1$$为任意常数。
四、综合题
19. 解：首先求出$$\int_0^1 x^2e^x dx$$，使用分部积分法得$$\int x^2e^x dx = x^2e^x - \int 2xe^x dx = x^2e^x - 2xe^x + 2\int e^x dx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$$，代入上限和下限得$$\int_0^1 x^2e^x dx = (1^2e^1 - 2\cdot1e^1 + 2e^1) - (0^2e^0 - 2\cdot0e^0 + 2e^0) = 2e - 2$$。
20. 解：设$$A$$，$$B$$，$$C$$分别为向量$$\vec{a}$$，$$\vec{b}$$，$$\vec{c}$$，则$$\vec{a} \cdot \vec{b} = AB\cos\theta$$，$$\vec{a} \cdot \vec{c} = AC\cos\phi$$，$$\vec{b} \cdot \vec{c} = BC\cos\psi$$。由余弦定理得$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC\cdot BC\cos\phi$$，$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB\cdot AC\cos\psi$$，$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC\cos\phi$$。联立解得$$\cos\theta = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2AC\cdot BC}$$，$$\cos\phi = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB\cdot BC}$$，$$\cos\psi = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB\cdot AC}$$。
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