关键词：数学考研题目讲解
在数学考研的征途上，每一个题目都是知识的考验，每一个解答都是智慧的结晶。以下是对一道典型数学考研题目的详细讲解：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求其在区间$[0, 3]$上的最大值和最小值。
解答思路：
1. 首先，求出函数的一阶导数$f'(x)$，用以判断函数的增减性。
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
2. 然后，令$f'(x) = 0$，求出可能的极值点。
$3x^2 - 12x + 9 = 0$
解得$x = 1$或$x = 3$
3. 接着，计算极值点处的函数值。
$f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5$
$f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = 1$
4. 最后，检查区间端点处的函数值。
$f(0) = 0^3 - 6 \times 0^2 + 9 \times 0 + 1 = 1$
综上，函数在区间$[0, 3]$上的最大值为5，最小值为1。
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