在探讨考研高数题目时，我们常遇到各种题型，如极限、导数、积分、级数等。以下是对一道典型高数题目的详细讲解：
题目：求函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 4} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
解题步骤：
1. 函数简化：首先，观察分子和分母，发现 \( x^3 - 6x^2 + 9x \) 可以因式分解为 \( x(x^2 - 6x + 9) \)，而 \( x^2 - 4 \) 是差平方，可以分解为 \( (x - 2)(x + 2) \)。因此，原函数可以简化为 \( f(x) = \frac{x(x - 3)^2}{(x - 2)(x + 2)} \)。
2. 洛必达法则：由于 \( x = 2 \) 是原函数的间断点，直接求导数无法进行，因此我们使用洛必达法则。洛必达法则适用于“0/0”或“∞/∞”型极限。
3. 求导：对分子 \( x(x - 3)^2 \) 和分母 \( (x - 2)(x + 2) \) 分别求导，得到分子的导数为 \( 3x^2 - 18x + 9 \)，分母的导数为 \( 2x + 4 \)。
4. 计算极限：应用洛必达法则，求 \( \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 18x + 9}{2x + 4} \)。将 \( x = 2 \) 代入，得到 \( \frac{3(2)^2 - 18(2) + 9}{2(2) + 4} = \frac{12 - 36 + 9}{8} = \frac{-15}{8} \)。
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处的导数为 \( -\frac{15}{8} \)。
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