在数学一考研的征途上，模拟题犹如一把利剑，助力考生披荆斩棘。以下为精心准备的数学一考研模拟题，助你实战演练，提升解题技巧。
一、选择题
1. 若函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $x = 1$ 处取得极值，则该极值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
答案：A
2. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若 $A^2 = O$，则矩阵 $A$ 的秩为（ ）
A. $n-1$ B. $n$ C. 1 D. 0
答案：D
二、填空题
1. 设 $f(x) = e^x \sin x$，则 $f''(x) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x (\sin x + 2\cos x)$
2. 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，$B$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $\det(AB) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
答案：$\det(A)\det(B)$
三、解答题
1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = e^x (y - 2)$。
答案：$y = e^x (C + 2e^{-x})$，其中 $C$ 为任意常数。
2. 已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $\det(A) = -1$，求 $\det(-A)$。
答案：$\det(-A) = (-1)^3 \det(A) = 1$。
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