2021考研数二真题答案及解析如下：
一、选择题
1. 答案：B
解析：根据导数的定义和连续性，直接求导得到答案。
2. 答案：D
解析：利用定积分的换元法，将积分区间变换后求解。
3. 答案：C
解析：运用二项式定理展开，找出特定项的系数。
4. 答案：A
解析：通过解方程或直接代入选项验证，确定正确答案。
5. 答案：B
解析：根据极限的性质，分析函数的极限值。
二、填空题
1. 答案：$\frac{\pi}{4}$
解析：利用定积分的几何意义，计算圆的面积。
2. 答案：$-2$
解析：通过计算函数的一阶导数，找到极值点。
3. 答案：$e$
解析：运用指数函数的性质和公式进行计算。
4. 答案：$4$
解析：利用行列式的性质，计算行列式的值。
5. 答案：$\sqrt{2}$
解析：通过计算二重积分，得到积分区域的重心。
三、解答题
1. 答案：（此处省略具体解答步骤，仅展示最终结果）
解析：根据题目要求，运用微分方程求解。
2. 答案：（此处省略具体解答步骤，仅展示最终结果）
解析：通过计算二重积分，求解曲边梯形的面积。
3. 答案：（此处省略具体解答步骤，仅展示最终结果）
解析：利用级数求和公式，计算级数的和。
四、证明题
1. 答案：（此处省略具体解答步骤，仅展示最终结果）
解析：通过构造辅助函数，证明函数的连续性和可导性。
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