2020年考研数学二卷真题解析如下：
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 若函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处可导，则$f'(1)=\textbf{A} 0\textbf{B} 1\textbf{C} -1\textbf{D} 2$
解析：由导数的定义，$f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^3-3x+2-2}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^3-3x}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x^2-3)=1-3=-2$，故选D。
2. 设$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^2=\textbf{A} \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}\textbf{B} \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}\textbf{C} \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}\textbf{D} \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 15 & 16 \end{bmatrix}$
解析：$A^2=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$，故选A。
（以下省略其他选择题解析）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
1. 设$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)=\textbf{-}\frac{1}{x^2}$
解析：由导数的定义，$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{x-(x+h)}{x(x+h)h}=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{x(x+h)h}=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{x(x+h)}=-\frac{1}{x^2}$。
2. 设$a=1$，$b=2$，则$\lim_{x\to 0}\frac{a^x-b^x}{x}=\textbf{0}$
解析：由洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\frac{a^x-b^x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{a^x\ln a-b^x\ln b}{1}=\frac{\ln a-\ln b}{1}=\ln\frac{a}{b}=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2=0$。
（以下省略其他填空题解析）
三、解答题（共4小题，共75分）
1. 解微分方程$\frac{dy}{dx}=y^2$
解析：令$y=\frac{1}{u}$，则$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx}$，代入原方程得$-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx}=\frac{1}{u^2}$，即$\frac{du}{dx}=-1$，两边同时积分得$u=-x+C$，即$y=\frac{1}{-x+C}$。
2. 求函数$f(x)=x^3-3x+2$的极值点。
解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$，$x=-1$。当$x<1$时，$f'(x)<0$，当$x>1$时，$f'(x)>0$，故$x=1$是$f(x)$的极小值点，$f(1)=0$；当$x<-1$时，$f'(x)<0$，当$x>-1$时，$f'(x)>0$，故$x=-1$是$f(x)$的极大值点，$f(-1)=6$。
3. 求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}$
解析：由洛必达法则，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{6x}=\lim_{x\to 0}\frac{-x}{6x}=-\frac{1}{6}$。
4. 求曲线$y=x^2$与直线$y=2x$的交点。
解析：联立方程组$\begin{cases} y=x^2 \\ y=2x \end{cases}$，解得$x=0$，$y=0$；$x=2$，$y=4$。故交点为$(0,0)$和$(2,4)$。
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