线性代数作为考研数学的重要组成部分，以下是一些基础题目的解答：
1. 矩阵乘法：已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 和 \( B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( AB \)。
解：\( AB = \begin{bmatrix} 1*5 + 2*7 & 1*6 + 2*8 \\ 3*5 + 4*7 & 3*6 + 4*8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29 & 34 \\ 43 & 58 \end{bmatrix} \)。
2. 行列式计算：计算行列式 \( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)。
解：按第一行展开，得 \( 1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 0 \)。
3. 逆矩阵求法：已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A^{-1} \)。
解：\( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \)。
4. 特征值与特征向量：求矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \) 的特征值和特征向量。
解：特征值 \( \lambda = 2 \)（重根），对应的特征向量是 \( k \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) 和 \( k \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)，其中 \( k \neq 0 \)。
5. 二次型：已知二次型 \( f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 \)，求其标准形。
解：通过配方法，得 \( f(x, y) = (x - y)^2 + 2y^2 \)，所以标准形为 \( f(x, y) = (x - y)^2 + 2y^2 \)。
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