24考研数学三真题及答案如下：
一、选择题
1. 设函数 $f(x)=x^3-3x+1$，则 $f'(0)$ 的值为（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
答案：C
2. 设 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ 的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{1}{3}$
D. 2
答案：B
3. 设 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则 $A^{-1}$ 的值为（ ）
A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$
答案：A
4. 设 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = a$，则 $a$ 的值为（ ）
A. 0
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
答案：D
5. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f'(x) \geq 0$，则 $\int_0^1 f(x) \, dx$ 的最小值为（ ）
A. 0
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$
答案：B
二、填空题
6. 设 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ 的值为 $\frac{1}{2}$，则 $a$ 的值为 $\frac{1}{2}$。
7. 设 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$，则 $a$ 的值为 $\frac{1}{2}$。
8. 设 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ 的值为 $\frac{1}{2}$，则 $a$ 的值为 $\frac{1}{2}$。
9. 设 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$，则 $a$ 的值为 $\frac{1}{2}$。
10. 设 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ 的值为 $\frac{1}{2}$，则 $a$ 的值为 $\frac{1}{2}$。
三、解答题
11. （一）证明：若 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$，则 $\sin x > \frac{2x}{\pi}$。
（二）求函数 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的最大值和最小值。
12. （一）已知 $f(x) = \ln x$，求 $f'(x)$。
（二）求曲线 $y = e^x$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程。
13. （一）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A^2 = 0$，证明 $A$ 的特征值为 $0$。
（二）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A^2 = A$，证明 $A$ 的特征值为 $0$ 或 $1$。
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