2020年考研数学三真题解析如下：
一、选择题
1. 选项A：$\int_0^1{\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=\infty$，选项B：$\int_0^1{\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x}=-1$，选项C：$\int_0^1{\frac{1}{x^3}\mathrm{d}x}=-\frac{1}{2}$，选项D：$\int_0^1{\frac{1}{x^4}\mathrm{d}x}=-\frac{1}{3}$。正确答案：C。
2. 选项A：$y'=\frac{1}{x^2}$，选项B：$y'=-\frac{1}{x^2}$，选项C：$y'=\frac{2}{x^3}$，选项D：$y'=-\frac{2}{x^3}$。正确答案：A。
3. 选项A：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，选项B：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x^2}=1$，选项C：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x^3}=1$，选项D：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x^4}=1$。正确答案：A。
4. 选项A：$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$，选项B：$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x^2}=1$，选项C：$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x^3}=1$，选项D：$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x^4}=1$。正确答案：A。
5. 选项A：$y=x^2$，选项B：$y=x^3$，选项C：$y=x^4$，选项D：$y=x^5$。正确答案：B。
二、填空题
1. $f(x)=x^3+3x^2+3x+1$，则$f'(x)=3x^2+6x+3$。
2. $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。
3. $\int_0^1{\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=\infty$。
三、解答题
1. 解：设$f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$，则$f'(x)=\frac{3x^2(x^2+1)-x^3(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}$。
2. 解：设$F(x)=\int_0^x{e^t\mathrm{d}t}-e^x$，则$F'(x)=e^x-e^x=0$。
3. 解：设$F(x)=\int_0^x{e^t\mathrm{d}t}-\frac{1}{2}x^2$，则$F'(x)=e^x-x$。
4. 解：设$F(x)=\int_0^x{e^t\mathrm{d}t}-\frac{1}{2}x^2$，则$F'(x)=e^x-x$。
5. 解：设$F(x)=\int_0^x{e^t\mathrm{d}t}-\frac{1}{2}x^2$，则$F'(x)=e^x-x$。
【考研刷题通】——考研刷题小程序，政治、英语、数学等全部考研科目，助力你轻松备考，祝你考研成功！微信搜索“考研刷题通”，开启你的考研之旅！