考研数学2024数一第一题是一道涉及极限计算的题目。题目如下：
已知函数 \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x=0 \) 处连续，求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \)。
解答如下：
由于 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处连续，可知 \( f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) \)。又因为 \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)，当 \( x \to 0 \) 时，\( \frac{\sin x}{x} \to 1 \)，所以 \( f(0) = 1 \)。
接下来计算极限：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2}
\]
利用泰勒展开 \( \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \) 在 \( x \to 0 \) 时，我们有：
\[
\sin x - x \approx -\frac{x^3}{6}
\]
因此：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{x}{6} = 0
\]
所以，所求极限为 0。
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