2020年考研数学一真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. A
10. C
二、填空题
11. 1/2
12. 3π/2
13. 1/3
14. 1/2
15. π/4
三、解答题
16. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 3
令f'(x) = 0，得x = ±1
当x < -1时，f'(x) > 0，函数单调递增；
当-1 < x < 1时，f'(x) < 0，函数单调递减；
当x > 1时，f'(x) > 0，函数单调递增。
所以函数在x = -1处取得极大值f(-1) = 2，在x = 1处取得极小值f(1) = -2。
17. 解：设函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的导数。
f'(x) = 2x - 2
令f'(x) = 0，得x = 1
当x < 1时，f'(x) < 0，函数单调递减；
当x > 1时，f'(x) > 0，函数单调递增。
所以函数在x = 1处取得极小值f(1) = 0。
18. 解：设函数f(x) = e^x - x^2，求f(x)的极值。
f'(x) = e^x - 2x
令f'(x) = 0，得x = ln2
当x < ln2时，f'(x) < 0，函数单调递减；
当x > ln2时，f'(x) > 0，函数单调递增。
所以函数在x = ln2处取得极小值f(ln2) = 2 - 2ln2。
四、证明题
19. 证明：设函数f(x) = x^3 - 3x，证明f(x)在(-∞, +∞)上单调递增。
解：f'(x) = 3x^2 - 3
当x ≠ 0时，f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x + 1)(x - 1)
当x < -1或x > 1时，f'(x) > 0，函数单调递增；
当-1 < x < 1时，f'(x) < 0，函数单调递减。
又因为f(0) = 0，所以f(x)在(-∞, +∞)上单调递增。
五、综合题
20. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
解：f'(x) = 3x^2 - 3
令f'(x) = 0，得x = ±1
当x < -1或x > 1时，f'(x) > 0，函数单调递增；
当-1 < x < 1时，f'(x) < 0，函数单调递减。
所以函数在x = -1处取得极大值f(-1) = 2，在x = 1处取得极小值f(1) = -2。
又因为f(0) = 0，f(2) = 2，所以f(x)在区间[0, 2]上的最大值为2，最小值为-2。
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