在2022年的考研数学二中，考生们面临了一系列挑战。以下是对真题的详细解析及答案：
一、选择题
1. 解析：本题考察了函数极限的计算。通过洛必达法则或泰勒公式，可得出答案为A。
答案：A
2. 解析：本题涉及向量积的计算。根据向量积的定义，答案为C。
答案：C
3. 解析：本题考察了二阶线性微分方程的解。通过求解特征方程，可得出答案为B。
答案：B
二、填空题
1. 解析：本题要求计算定积分。利用积分公式，答案为$\frac{\pi}{4}$。
答案：$\frac{\pi}{4}$
2. 解析：本题涉及级数求和。通过逐项求和，答案为$-\frac{1}{2}$。
答案：$-\frac{1}{2}$
三、解答题
1. 解析：本题要求证明函数在某区间内单调递增。通过拉格朗日中值定理，可证明函数在该区间内单调递增。
答案：证明过程略。
2. 解析：本题考察了多元函数的极值问题。通过求解偏导数和二阶偏导数，可得出极值点为$(1,1)$，并判断其为极小值点。
答案：极小值点为$(1,1)$。
四、证明题
1. 解析：本题要求证明函数在无穷远处趋于0。通过洛必达法则或泰勒公式，可证明函数在无穷远处趋于0。
答案：证明过程略。
五、应用题
1. 解析：本题要求计算曲面积分。通过高斯公式，可计算出曲面积分。
答案：计算过程略。
总结：2022年考研数学二真题涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个方面，难度适中。希望以上解析能对考生有所帮助。
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