线性代数是考研数学的重要组成部分，以下是一些线性代数中必背的核心公式：
1. 矩阵的转置：若矩阵 \( A \) 的元素为 \( a_{ij} \)，则其转置矩阵 \( A^T \) 的元素为 \( a_{ji} \)。
2. 矩阵乘法：若矩阵 \( A \) 和 \( B \) 分别为 \( m \times n \) 和 \( n \times p \) 的矩阵，则它们的乘积 \( C = AB \) 为 \( m \times p \) 的矩阵，其中 \( c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \)。
3. 行列式性质：行列式具有线性性质，即行列式对行或列的线性组合等于原行列式乘以相应的系数。
4. 克莱姆法则：若 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A \) 的行列式 \( |A| \neq 0 \)，则方程组 \( AX = B \) 有唯一解，解为 \( X = A^{-1}B \)。
5. 矩阵的逆：若 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A \) 可逆，则 \( A^{-1} \) 存在，且满足 \( AA^{-1} = A^{-1}A = E \)。
6. 特征值与特征向量：若 \( \lambda \) 是 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的特征值，\( \alpha \) 是对应的特征向量，则 \( A\alpha = \lambda\alpha \)。
7. 矩阵的秩：矩阵的秩是其行向量（或列向量）的最大线性无关组所含向量的个数。
8. 矩阵的秩与零空间的维度关系：若 \( A \) 是 \( m \times n \) 的矩阵，则 \( \text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n \)。
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