线性代数作为考研数学的重要部分，以下是一些经典习题：
1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
2. 已知向量组 \( \{ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \} \) 线性无关，若 \( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)，\( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \)，\( \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} \)，求 \( \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3 \) 的表达式。
3. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的逆矩阵。
4. 已知向量 \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)，向量 \( \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)，\( \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} \)，求 \( \mathbf{b} \) 在 \( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \) 线性组合下的坐标。
5. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的秩和零空间。
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