2018年考研数学二中的数列题目，主要考察了数列的收敛性、通项公式以及数列极限的计算。以下是一例：
题目：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且对于任意的 $n\in \mathbb{N}^*$，都有 $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}a_{n-1}$，求证：$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\frac{3}{5}$。
解答过程：
首先，我们利用数学归纳法证明 $a_n + a_{n-1} = \frac{3}{2}$ 对任意 $n\in \mathbb{N}^*$ 成立。
当 $n=1$ 时，由题意知 $a_1 + a_0 = 1 + 0 = 1$，结论成立。
假设当 $n=k$ 时，$a_k + a_{k-1} = \frac{3}{2}$ 成立，即 $a_k + a_{k-1} = \frac{3}{2}$。
那么当 $n=k+1$ 时，我们有：
$$
\begin{aligned}
a_{k+1} + a_k &= \frac{1}{2}a_k + \frac{1}{3}a_{k-1} + a_k \\
&= \frac{3}{2}a_k + \frac{1}{3}a_{k-1} \\
&= \frac{3}{2}\left(a_k + a_{k-1}\right) \\
&= \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2} \\
&= \frac{9}{4} \\
&= \frac{3}{2}
\end{aligned}
$$
由归纳法可知，对于任意的 $n\in \mathbb{N}^*$，都有 $a_n + a_{n-1} = \frac{3}{2}$ 成立。
接下来，我们考虑数列 $\{a_n\}$ 的极限。由于 $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}a_{n-1}$，我们可以将 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 和 $a_{n-1}$ 的差值联系起来。
$$
\begin{aligned}
a_{n+1} - a_n &= \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}a_{n-1} - a_n \\
&= -\frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}a_{n-1} \\
&= \frac{1}{3}(a_{n-1} - a_n)
\end{aligned}
$$
由此可知，$a_{n+1} - a_n$ 与 $a_{n-1} - a_n$ 成正比，即 $\{a_n\}$ 是一个等差数列。因此，$\lim_{n\rightarrow \infty}(a_{n+1} - a_n) = 0$。
又因为 $a_{n+1} + a_n = \frac{3}{2}$，所以 $\lim_{n\rightarrow \infty}(a_{n+1} + a_n) = \frac{3}{2}$。
由等差数列的极限性质，我们可以得到 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow \infty}(a_{n+1} + a_n) = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{5}$。
因此，我们证明了 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\frac{3}{5}$。
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