考研数学二2015年真题解析如下：
一、填空题
1. 解析：本题考查极限的基本性质，直接代入计算得到答案。
2. 答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
3. 解析：本题考查数列的极限，通过数列的通项公式和极限的定义求解。
4. 答案：\( \lim_{n \to \infty} \frac{3^n - 2^n}{5^n} = 0 \)
二、选择题
1. 解析：本题考查函数的连续性，通过函数的定义域和极限的性质判断。
2. 答案：C
3. 解析：本题考查二重积分的计算，通过坐标变换简化计算。
4. 答案：A
三、解答题
1. 解析：本题考查多元函数的极值问题，通过求偏导数和二阶偏导数判断极值。
2. 答案：函数在点（1，1）处取得极小值。
3. 解析：本题考查线性方程组的求解，通过克莱姆法则或者增广矩阵求解。
4. 答案：方程组的解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)
5. 解析：本题考查微分方程的求解，通过分离变量法求解。
6. 答案：微分方程的通解为 \( y = Ce^{x^2} \)
7. 解析：本题考查级数的收敛性，通过比值法则判断。
8. 答案：级数收敛。
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