2019年考研数学一数列大题解析如下：
一、题干分析
本题考查了数列的极限性质，涉及数列的通项公式、单调性、收敛性等知识点。解题关键在于灵活运用数列极限的定义，以及数列极限的运算性质。
二、解题步骤
1. 根据题干给出的数列通项公式，观察其特点，确定解题思路。
2. 利用数列极限的定义，求解数列的极限。
3. 分析数列的单调性，判断数列的收敛性。
4. 结合数列的性质，求解题目要求的答案。
三、具体解答
设数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = \frac{n}{n+1}$。
1. 求极限：$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1$。
2. 分析单调性：对于任意的 $n \in \mathbb{N}^*$，有 $a_n = \frac{n}{n+1} < 1$，因此数列 $\{a_n\}$ 单调递减。
3. 判断收敛性：由于数列 $\{a_n\}$ 单调递减，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$，根据单调有界准则，数列 $\{a_n\}$ 收敛。
4. 求解题目要求的答案：根据题意，求解 $\lim_{n \to \infty} (a_n + \frac{1}{a_n}) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1} + \frac{n+1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2 + n + 1}{n(n+1)}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right) = 2$。
四、总结
本题通过数列极限的定义和性质，考察了数列的单调性、收敛性等知识点。解题过程中，注意灵活运用数列极限的定义和运算性质，同时关注数列的收敛性判断。
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