关键词：线性代数，二次型，正定矩阵，特征值，特征向量
在考研数学的线性代数部分，二次型与正定矩阵的概念是常考内容。以下是一道关于二次型和正定矩阵的典型题目：
题目：设二次型 \(f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - 2x_1x_2 + 3x_2^2 + 4x_3^2 - 2x_1x_3\)，已知该二次型的正定矩阵的特征值均为正数，求：
1. 该二次型的标准型；
2. 对应的特征向量。
解答思路：
1. 通过配方法将二次型 \(f(x_1, x_2, x_3)\) 转换为标准型。首先，对 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的项进行配方，得到：
\[f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_2)^2 + 2x_2^2 + 4x_3^2 - 2x_1x_3\]
然后，将上式中的 \(2x_2^2 + 4x_3^2 - 2x_1x_3\) 进行配方，得到：
\[f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_2)^2 + 2(x_2 + \frac{1}{2}x_3)^2 + 3x_3^2\]
因此，二次型的标准型为：
\[f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_2)^2 + 2(x_2 + \frac{1}{2}x_3)^2 + 3x_3^2\]
2. 为了求出对应的特征向量，需要求出正定矩阵的特征值。设二次型的正定矩阵为 \(A\)，则 \(A\) 的特征值均为正数。由题意，特征值 \(λ\) 应满足以下条件：
\[λ - 1 > 0\]
\[2λ - 2 > 0\]
\[3λ > 0\]
解得 \(λ > 1\)。因此，正定矩阵 \(A\) 的特征值均为正数。
接下来，求解特征向量。根据特征值的定义，有：
\[(A - λI)x = 0\]
其中 \(I\) 是单位矩阵。将 \(λ\) 分别代入上述方程，可得三个线性方程组，解得三个线性无关的特征向量。这三个特征向量分别对应于特征值 \(λ_1 = 2\)，\(λ_2 = 3\)，\(λ_3 = 4\)。
通过上述步骤，我们完成了该题目的解答。
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