2021年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. （1分）设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)=\boxed{0}$。
2. （2分）设$a>0$，则$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x^a}=\boxed{0}$。
3. （3分）设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^{-1}=\boxed{\begin{bmatrix}\frac{4}{10}&-\frac{2}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{bmatrix}}$。
二、填空题
4. （3分）设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)=\boxed{-1}$。
5. （3分）设$a>0$，则$\int_0^1 x^a\ln x\,dx=\boxed{\frac{a}{(a+1)^2}}$。
三、解答题
6. （10分）设$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的极值。
解：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$。
当$x< -1$时，$f'(x)>0$；当$-1
因此，$f(x)$在$x=-1$处取得极大值$f(-1)=4$，在$x=1$处取得极小值$f(1)=0$。
7. （10分）设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式。
解：$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，$f''(x)=\frac{2(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$。
因此，$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为$f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$。
8. （15分）设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
解：$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\3&4-\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-6=\lambda^2-5\lambda-2$。
因此，$A$的特征值为$\lambda_1=1$，$\lambda_2=4$。
当$\lambda_1=1$时，$A-\lambda_1I=\begin{bmatrix}0&2\\3&3\end{bmatrix}$，解得$A$对应于$\lambda_1=1$的特征向量为$\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$。
当$\lambda_2=4$时，$A-\lambda_2I=\begin{bmatrix}-3&2\\3&-4\end{bmatrix}$，解得$A$对应于$\lambda_2=4$的特征向量为$\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$。
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