2016年考研数学二第21题考查的是多元函数的偏导数及其应用。题目给出一个多元函数，要求求出该函数在某点的偏导数，并进一步分析函数在该点附近的性质。具体解答如下：
首先，我们需要求出函数在点P处的偏导数。设函数为\( f(x, y) \)，则在点P处的偏导数分别为：
\[ f_x'(P) = \lim_{h \to 0} \frac{f(P+h, y) - f(P, y)}{h} \]
\[ f_y'(P) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x, P+k) - f(x, P)}{k} \]
接下来，通过计算偏导数的极限，我们可以得出函数在点P处的偏导数值。
然后，我们利用偏导数分析函数在点P附近的性质。例如，如果偏导数在某点同时存在且不为零，那么该点可能是函数的极值点。具体来说，如果\( f_x'(P) \neq 0 \)且\( f_y'(P) \neq 0 \)，则函数在点P附近可能存在极值。
最后，我们根据题目要求，将求得的偏导数和函数性质应用到实际问题中，如求解最值、判断函数的单调性等。
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