2016年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(0) = \quad$（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
答案：A
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，代入$x=0$得$f'(0) = 0$。
2. 下列级数中，收敛的是（ ）
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5}$
答案：A
解析：根据$p$级数收敛的必要条件，$p>1$时级数收敛，故选A。
3. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：A
解析：$A^2 = 0$，则$A$的零空间非平凡，即$A$的秩为0。
二、填空题
1. 设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(1) = \quad$（ ）
答案：2
解析：$f'(x) = \frac{2x}{x - 1}$，代入$x=1$得$f'(1) = 2$。
2. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \quad$（ ）
答案：$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
解析：$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
三、解答题
1. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求$f(x)$的极值。
答案：$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1) = 0$，在$x=-1$处取得极小值$f(-1) = 4$。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$得$x=1$和$x=-1$。当$x<1$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；当$x>1$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减。因此，$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1) = 0$，在$x=-1$处取得极小值$f(-1) = 4$。
2. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
答案：$A$的特征值为$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 5$。对应的特征向量为$\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。
解析：$\text{det}(\lambda E - A) = (\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$，得$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 5$。当$\lambda_1 = 2$时，$(2E - A)\alpha = 0$，解得$\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$；当$\lambda_2 = 5$时，$(5E - A)\alpha = 0$，解得$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。
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