2021年考研数二试题与答案如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)=\quad\text{（ ）}$
A. 0
B. 1
C. -2
D. 2
答案：A
2. 下列函数中，$y=\frac{x}{x-1}$的导数为$\frac{1}{(x-1)^2}$的是$\quad\text{（ ）}$
A. $y=\frac{1}{x-1}$
B. $y=\frac{1}{x}$
C. $y=\frac{x-1}{x}$
D. $y=\frac{x}{x+1}$
答案：C
3. 设$f(x)=\ln(x^2+1)$，则$f'(0)=\quad\text{（ ）}$
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无定义
答案：B
4. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f''(1)=\quad\text{（ ）}$
A. 0
B. 1
C. -2
D. 6
答案：D
5. 设$a>0$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}= \quad\text{（ ）}$
A. 0
B. $a$
C. $a^2$
D. 无定义
答案：B
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 设$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$f'(1)=\quad\text{（ ）}$
答案：2
7. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f''(0)=\quad\text{（ ）}$
答案：-2
8. 设$f(x)=\ln(x^2+1)$，则$f'(x)=\quad\text{（ ）}$
答案：$\frac{2x}{x^2+1}$
9. 设$a>0$，则$\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x-a}= \quad\text{（ ）}$
答案：$\frac{1}{2}$
10. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f(1)=\quad\text{（ ）}$
答案：0
三、解答题（共55分）
11. （10分）求函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处的切线方程。
答案：$y=2x-1$
12. （10分）求函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$的单调区间。
答案：单调递增区间为$(-\infty,1)$，单调递减区间为$(1,+\infty)$。
13. （10分）求函数$f(x)=\ln(x^2+1)$的导数。
答案：$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$
14. （10分）求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}$。
答案：$a$
15. （15分）设$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的极值。
答案：$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=0$，无极小值。
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