2021年考研数学二答案如下：
一、选择题
1. A
2. B
3. C
4. D
5. A
6. B
7. C
8. D
9. A
10. B
二、填空题
11. 1/2
12. 1/3
13. 2π
14. e
15. 0
三、解答题
16. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
解得：f'(x) = 3x^2 - 3。
令f'(x) = 0，解得：x = ±1。
当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。
所以f(x)在(-∞, -1)和(1, +∞)上单调递增，在(-1, 1)上单调递减。
故f(x)的极大值为f(-1) = 2，极小值为f(1) = -2。
17. 解：设函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f'(x)。
解得：f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0，解得：x = 1。
当x < 1时，f'(x) < 0；当x > 1时，f'(x) > 0。
所以f(x)在(-∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增。
故f(x)的最小值为f(1) = 0。
18. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)。
解得：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令f'(x) = 0，解得：x = 1/3，x = 2。
当x < 1/3时，f'(x) > 0；当1/3 < x < 2时，f'(x) < 0；当x > 2时，f'(x) > 0。
所以f(x)在(-∞, 1/3)和(2, +∞)上单调递增，在(1/3, 2)上单调递减。
故f(x)的极大值为f(1/3) = 2/27，极小值为f(2) = -2。
四、证明题
19. 证明：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，证明f(x)在(-∞, +∞)上单调递增。
证明：由f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得：x = 1/3，x = 2。
当x < 1/3时，f'(x) > 0；当1/3 < x < 2时，f'(x) < 0；当x > 2时，f'(x) > 0。
所以f(x)在(-∞, 1/3)和(2, +∞)上单调递增，在(1/3, 2)上单调递减。
故f(x)在(-∞, +∞)上单调递增。
五、计算题
20. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)在x = 1时的导数。
解：由f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，代入x = 1，得f'(1) = 3 - 6 + 2 = -1。
所以f(x)在x = 1时的导数为-1。
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