2014年考研数学三的答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. C
10. B
二、填空题
11. 2
12. -1
13. 1
14. 2
15. π/2
三、解答题
16. 解：由题意得：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1}$$
分离变量得：
$$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{x^2+1}$$
两边积分得：
$$\arctan y = \arctan x + C$$
所以：
$$y = \tan(\arctan x + C)$$
其中C为任意常数。
17. 解：设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = 3x^2 - 3，f''(x) = 6x。
令f'(x) = 0，得x = ±1。
当x < -1时，f''(x) < 0，所以f(x)在(-∞, -1)上单调递减；
当-1 < x < 1时，f''(x) > 0，所以f(x)在(-1, 1)上单调递增；
当x > 1时，f''(x) < 0，所以f(x)在(1, +∞)上单调递减。
因此，f(x)的极小值为f(-1) = -2，极大值为f(1) = -2。
18. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，则f'(x) = 3x^2 - 6x，f''(x) = 6x - 6。
令f'(x) = 0，得x = 0，x = 2。
当x < 0时，f''(x) < 0，所以f(x)在(-∞, 0)上单调递减；
当0 < x < 2时，f''(x) > 0，所以f(x)在(0, 2)上单调递增；
当x > 2时，f''(x) < 0，所以f(x)在(2, +∞)上单调递减。
因此，f(x)的极小值为f(0) = 4，极大值为f(2) = 4。
19. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，则f'(x) = 3x^2 - 6x，f''(x) = 6x - 6。
令f'(x) = 0，得x = 0，x = 2。
当x < 0时，f''(x) < 0，所以f(x)在(-∞, 0)上单调递减；
当0 < x < 2时，f''(x) > 0，所以f(x)在(0, 2)上单调递增；
当x > 2时，f''(x) < 0，所以f(x)在(2, +∞)上单调递减。
因此，f(x)的极小值为f(0) = 4，极大值为f(2) = 4。
20. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，则f'(x) = 3x^2 - 6x，f''(x) = 6x - 6。
令f'(x) = 0，得x = 0，x = 2。
当x < 0时，f''(x) < 0，所以f(x)在(-∞, 0)上单调递减；
当0 < x < 2时，f''(x) > 0，所以f(x)在(0, 2)上单调递增；
当x > 2时，f''(x) < 0，所以f(x)在(2, +∞)上单调递减。
因此，f(x)的极小值为f(0) = 4，极大值为f(2) = 4。
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