2021年考研数学一卷真题解析如下：
一、选择题
1. 下列各题中，函数y=f(x)在点x=x0处可导的充要条件是（ ）
A. f'(x0)存在
B. f(x)在x=x0处连续
C. Δy/Δx→0
D. lim Δy/Δx=0
答案：D
解析：根据导数的定义，函数在某一点可导的充要条件是极限lim Δy/Δx=0。
2. 已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上的最大值和最小值一定存在（ ）
A. 在区间[a, b]的端点
B. 在区间[a, b]的内部
C. 在区间[a, b]的端点或内部
D. 在区间[a, b]的内部或端点
答案：C
解析：根据最大值最小值定理，连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，这些值可能在端点也可能在内部。
3. 已知函数f(x)在x=0处连续，则f(0)等于（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在
答案：A
解析：由于f(x)在x=0处连续，根据连续函数的定义，f(0)的极限值等于f(0)本身，即f(0)=0。
4. 已知函数f(x)在x=0处可导，则f'(0)等于（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在
答案：A
解析：根据导数的定义，函数在某一点可导的充要条件是极限lim Δy/Δx=0，所以f'(0)=0。
5. 下列各题中，下列级数收敛的是（ ）
A. ∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n
B. ∑(n=1 to ∞) (-1)^n
C. ∑(n=1 to ∞) 1/n
D. ∑(n=1 to ∞) 1/n^2
答案：D
解析：根据级数收敛的必要条件，正项级数如果收敛，则其项的极限必须为0。因此，只有D选项中的级数收敛。
二、填空题
6. 函数y=x^3-x在x=1处的导数是（ ）
答案：2
解析：根据导数的定义，y'=3x^2-1，代入x=1得到y'=2。
7. 已知函数f(x)=e^x+sinx，则f'(x)等于（ ）
答案：e^x+cosx
解析：根据导数的定义，f'(x)=e^x+cosx。
8. 下列各题中，下列矩阵的行列式值等于0的是（ ）
答案：C
解析：A选项的行列式值为3，B选项的行列式值为2，D选项的行列式值为1，只有C选项的行列式值为0。
三、解答题
9. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(x)和f''(x)。
答案：f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x。
解析：根据导数的定义，f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x。
10. 求函数f(x)=e^x*sinx的极值。
答案：f(x)在x=π/2处取得极大值，极大值为e^(π/2)。
解析：求导得到f'(x)=e^x*sinx+e^x*cosx，令f'(x)=0得到x=π/2，由于f''(x)=2e^x*cosx>0，所以f(x)在x=π/2处取得极大值。
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