在2014年考研数学二第17题中，考生需解决的数学问题是关于一元二次方程的根与系数关系的应用。题目可能涉及以下内容：
题目描述：
设一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，已知 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 和 \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)。若 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 的和与积都是正数，证明该方程的两个根都是正数。
解题步骤：
1. 根据根与系数的关系，已知 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} > 0 \) 和 \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} > 0 \)。
2. 因为 \( a \) 和 \( b \) 的符号未知，所以不能直接得出 \( a \) 的符号。
3. 由于 \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} > 0 \)，可知 \( c \) 和 \( a \) 同号。
4. 若 \( a \) 为负数，则 \( c \) 也为负数，与 \( x_1 \cdot x_2 > 0 \) 矛盾。因此，\( a \) 必须为正数。
5. 由于 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} > 0 \)，且 \( a \) 为正数，则 \( b \) 必须为负数。
6. 综上所述，\( a > 0 \)，\( b < 0 \)，\( c > 0 \)，所以 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 都是正数。
通过以上步骤，可以证明该方程的两个根都是正数。
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