2021年考研数学一真题解析如下：
一、选择题（共20题，每题5分，共100分）
1. 若函数 \( f(x) = \ln(x) \) 在点 \( x = e \) 处的切线斜率为 \( k \)，则 \( k \) 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. \( \frac{1}{e} \) D. \( e \)
答案：B
2. 已知 \( A \) 为 \( 3 \times 4 \) 的矩阵，\( B \) 为 \( 4 \times 3 \) 的矩阵，则矩阵 \( AB \) 的秩为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：D
3. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f(x) \) 的导数为（ ）
A. \( 3x^2 - 3 \) B. \( 3x^2 + 3 \) C. \( 3x^2 - 6 \) D. \( 3x^2 + 6 \)
答案：A
4. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，\( A \) 的特征值为 \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \)，则 \( A \) 的行列式 \( \left| A \right| \) 等于（ ）
A. \( \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \) B. \( \lambda_1^3 \lambda_2^3 \lambda_3^3 \) C. \( \lambda_1^2 \lambda_2^2 \lambda_3^2 \) D. \( \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_2 \lambda_3 + \lambda_3 \lambda_1 \)
答案：A
5. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，\( A \) 的行列式 \( \left| A \right| = 0 \)，则 \( A \) 的特征值一定是（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 0 或 1 或 -1
答案：A
...
（此处省略其他选择题解析）
二、填空题（共10题，每题5分，共50分）
1. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处的导数 \( f'(2) \) 等于（ ）
答案：\( -\frac{1}{4} \)
2. 设 \( A \) 为 \( 2 \times 2 \) 的矩阵，\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \) 为（ ）
答案：\( \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)
...
（此处省略其他填空题解析）
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
1. 解微分方程 \( y'' + y = 2\sin(x) \)
答案：\( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + \sin(x) - \cos(x) \)
2. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案：特征值为 0，1，2；特征向量为 \( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)
...
（此处省略其他解答题解析）
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