2021考研数学三真题解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查了极限的概念。根据极限的定义，当$x$趋近于0时，$\frac{1}{x}$趋近于无穷大，故选C。
2. 解析：本题考查了级数的收敛性。根据级数收敛的必要条件，级数的通项的极限为0，故选D。
3. 解析：本题考查了线性方程组的解。根据克莱姆法则，当系数行列式不为0时，方程组有唯一解，故选A。
二、填空题
1. 解析：本题考查了矩阵的行列式。根据行列式的性质，交换两行或两列，行列式的值变号，故填$-1$。
2. 解析：本题考查了线性方程组的解。根据克拉默法则，当系数行列式不为0时，方程组的解为$\frac{D_1}{D}$，其中$D_1$为将系数行列式中第1列的元素替换为方程组右侧常数项所构成的行列式，故填$\frac{2}{3}$。
三、解答题
1. 解析：本题考查了多元函数的偏导数和全微分。首先求出偏导数，然后代入公式计算全微分，得到$\mathrm{d}z = 2x\mathrm{d}x + 3y\mathrm{d}y$。
2. 解析：本题考查了二重积分的计算。根据积分区域的对称性，可以将积分区域分为两部分，分别计算再相加。具体计算过程略。
3. 解析：本题考查了线性规划的最大值问题。首先写出目标函数和约束条件，然后根据线性规划的解法，将目标函数转化为标准形式，求出最优解。
4. 解析：本题考查了函数的极值问题。首先求出函数的驻点，然后判断驻点处的函数值是否为极值，最后求出极值点。
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