在21考研数学的考场上，一道典型的选择题如下：
题目： 若函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$在区间$(1,2)$内单调递增，则$a$的取值范围是：
A. $a > 1$
B. $a < 1$
C. $a \leq 1$
D. $a \geq 1$
解答： 首先，对函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$进行因式分解，得$f(x) = \frac{1}{(x-1)(x-2)}$。因为$x^2 - 3x + 2$在$(1,2)$区间内始终大于0，所以$f(x)$的单调性取决于分母的符号。
求导得$f'(x) = \frac{2(x-2) - (x-1)}{(x-1)^2(x-2)^2} = \frac{x-3}{(x-1)^2(x-2)^2}$。要使$f(x)$在$(1,2)$内单调递增，需$f'(x) > 0$，即$x - 3 > 0$，解得$x > 3$。
但是，由于$x$的取值范围是$(1,2)$，$x > 3$不可能成立。因此，我们需要检查选项中是否有$x$的取值使得$f'(x) > 0$在$(1,2)$内成立。唯一可能的情况是$x$接近2时，$f'(x)$接近0，所以需要$a$使得$x-3$尽可能接近0。
故$a$的取值范围应为$a \leq 1$。选项C正确。
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