2021年考研数二真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，则$f'(1) = \, ?$
解析：利用导数的基本公式，得$f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$，代入$x=1$，得$f'(1) = -2$。
2. 设$a, b$是方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个根，则$a^2 + b^2 = \, ?$
解析：根据韦达定理，$a + b = 4$，$ab = 3$，所以$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 16 - 6 = 10$。
3. 设$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \, ?$
解析：利用洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = 0$。
二、填空题
1. 若$e^x - 1 = 2x$，则$x = \, ?$
解析：令$e^x - 1 = 2x$，两边取对数得$x = \ln(2x + 1)$，解得$x = 0$。
2. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \, ?$
解析：计算行列式$|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$，得$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$。
三、解答题
1. 求极限$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$。
解析：$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$，因为$\sin x$是有界函数，而$x$趋向于无穷大。
2. 已知$A$是$n$阶方阵，$A^2 = -A$，求$A$的特征值和特征向量。
解析：特征方程为$\lambda^2 + 1 = 0$，解得$\lambda = \pm i$。对于$\lambda = i$，解得特征向量$\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}$；对于$\lambda = -i$，解得特征向量$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$。
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