2021考研数学一真题解答如下：
一、选择题
1. 题目：若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在$x=1$处的切线斜率为多少？
解答：函数的导数为$f'(x) = 3x^2 - 3$，代入$x=1$得$f'(1) = 0$，故切线斜率为0。
2. 题目：已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩阵。
解答：计算行列式$|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$，$A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}$。
二、填空题
1. 题目：函数$f(x) = e^x \sin x$的极值点为$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$，其中$k$为整数。
解答：求导得$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$，令$f'(x) = 0$，解得$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$。
2. 题目：已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的收敛半径为$R=\infty$。
解答：根据$p$级数收敛的判别法，当$p>1$时，级数收敛，因此$R=\infty$。
三、解答题
1. 题目：证明$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$。
解答：由洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1} = 1$。
2. 题目：求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$的导数和二阶导数。
解答：一阶导数$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，二阶导数$f''(x) = 6x - 12$。
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