考研数学每日一题精选：极限与连续的疑难杂症深度解析

在考研数学的备考过程中，极限与连续是基础却极易混淆的知识点。许多考生在解题时常常陷入误区，比如对ε-δ语言的理解不够透彻，或者对间断点的分类掌握不清。为了帮助大家攻克这一难点，我们精心挑选了三道典型问题，从不同角度剖析极限与连续的核心考点。这些问题不仅涵盖了考研数学的常考题型，还融入了历年真题的解题思路，帮助考生在实战中快速提升。每道题目的解答都力求详尽，不仅给出正确答案，还会深入分析解题过程中的关键步骤和易错点，让大家真正学会举一反三。

问题一：求极限 lim (x→2) (x2 4) / (x 2)

这道题看似简单，却隐藏着不少陷阱。很多同学直接代入x=2，结果得到0/0的未定式，从而陷入僵局。实际上，这属于典型的“消去零因子”问题，需要通过因式分解简化表达式。

解答：观察分子x2 4，可以分解为(x 2)(x + 2)。于是原式变为：

lim (x→2) [(x 2)(x + 2)] / (x 2) = lim (x→2) (x + 2)

当x→2时，x + 2→4，因此极限值为4。这里不能直接约分，因为x=2时原式无定义，必须先进行变形。这种“先变形再求值”的思路是解决此类问题的万能钥匙。

特别提醒：对于类似的极限问题，如果直接代入出现未定式，一定要优先考虑因式分解、有理化或通分等变形方法，切忌盲目使用洛必达法则，因为简单的变形往往能事半功倍。

问题二：讨论函数f(x) = x / x在x=0处是否连续

这道题考察的是连续性的判断，尤其是分段函数在分段点处的连续性问题。很多同学只计算了左极限和右极限相等，就误以为函数连续，实际上还必须验证函数值是否等于极限值。

解答：我们分别计算函数在x=0处的左极限和右极限：

lim (x→0?) x / x = lim (x→0?) -x / x = -1

lim (x→0?) x / x = lim (x→0?) x / x = 1

由于左右极限不相等，因此极限lim (x→0) x / x不存在。根据连续性的定义，极限存在且等于函数值时函数才连续，而f(0)并未定义（因为x / x在x=0时无意义）。所以，函数f(x) = x / x在x=0处不连续。

深入分析：这道题揭示了分段函数连续性判断的三个关键步骤：①计算左右极限是否相等；②验证极限值是否等于函数值；③检查函数在该点是否有定义。只有同时满足这三个条件，函数才连续。很多同学容易忽略第②和第③点，导致判断失误。

问题三：证明函数f(x) = x2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0在x=0处连续

证明函数连续性问题，尤其是含参变量的极限，需要灵活运用极限定义和已知结论。很多同学在处理sin(1/x)这类振荡函数时感到无从下手，实际上可以利用有界函数与无穷小乘积的性质。

解答：我们需要验证lim (x→0) f(x) = f(0)，即lim (x→0) x2 sin(1/x) = 0。

由于-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，所以-x2 ≤ x2 sin(1/x) ≤ x2。当x→0时，x2是无穷小量，根据夹逼定理，有：

lim (x→0) x2 sin(1/x) = 0 = f(0)

因此，函数f(x)在x=0处连续。这个证明的关键在于利用了“sin函数的有界性”这一常用结论，将复杂问题转化为已知模型的套用。

特别提示：对于含参变量的极限问题，尤其是三角函数类，一定要记住几个常用结论：① sin x ≤ 1；② cos x ≤ 1；③ lim (x→0) (sin x) / x = 1；④ lim (x→0) (1 cos x) / x2 = 1/2。这些结论往往能简化复杂的极限计算。