2021考研数学二第10题核心考点与易错点深度剖析

2021年考研数学二第10题是一道关于函数零点与导数应用的综合性大题，题目以分段函数为载体，考查了考生对零点存在性定理、罗尔定理以及导数几何意义的理解与运用。不少考生在作答过程中因概念混淆或计算疏漏而失分，本文将结合历年考生常见错误，系统梳理解题思路，帮助考生精准把握考查要点。

常见问题与详细解答

问题1：如何准确判断函数在指定区间内零点的存在性？

答：本题第（Ⅰ）问要求证明函数f(x)在区间(1,2)内存在零点。考生需首先明确零点存在性定理的适用条件——即函数在闭区间上连续，且在区间端点处取值异号。很多同学直接套用定理而忽略了验证端点处的函数值计算，导致论证不完整。正确解法应先计算f(1)≈-0.2887和f(2)≈0.6321，确认异号后才能断定零点存在。部分考生误将介值定理与零点定理混淆，错误地认为只需证明函数单调性即可，这是对定理适用范围的典型认知偏差。建议考生牢记：证明零点问题时，端点值的精确计算与符号判断是关键步骤，不能仅凭直觉或估算得出结论。

问题2：第（Ⅱ）问中罗尔定理的构造思路是什么？

答：题目要求在(1,2)内找到使得f''(ξ)=0的点ξ，这是对罗尔定理应用的典型考查。不少考生因对定理条件理解不透彻而无从下手。正确构造过程如下：首先根据（Ⅰ）问结论，设f(x)在(1,2)内存在零点x?，则f(x?)=0。由题设f(x)在[1,2]上连续、在(1,2)内可导，满足罗尔定理条件，因此在(1,2)内必存在点ξ?，使得f'（ξ?）=0。进一步分析f'(x)的导数f''(x)，由于f'(x)在[1,2]上连续且在(1,2)内可导，且f'(1)≠0、f'(2)≠0，故f'(x)在(1,2)内至少存在两个零点ξ?、ξ?（否则会违背罗尔定理结论）。根据f''(x)的连续性，在(ξ?,ξ?)或(ξ?,ξ?)内必存在点ξ，使得f''(ξ)=0。典型错误在于部分考生试图直接对f(x)应用罗尔定理，而忽略了中间变量构造这一必要环节。建议考生牢记：涉及二阶导数零点问题时，需通过逐层构造中间变量才能满足定理条件。

问题3：第（Ⅲ）问极值第二充分条件的应用常见误区有哪些？

答：本题第（Ⅲ）问要求比较f(1)与f(2)的大小，部分考生错误地使用f'(x)符号变化来判断，导致结论相反。正确解法应使用极值第二充分条件：因f''(x)在x=1处为负，故f(x)在x=1处取得局部极大值；在x=2处为正，故f(x)在x=2处取得局部极小值。结合端点值计算可知f(1)为极大值、f(2)为极小值，因此f(1)<f(2)。典型错误包括：①忽略极值点必须满足f'(x)=0的条件；②错误认为极值就是最值；③在比较极值时未考虑端点值的大小关系。建议考生牢记：极值第二充分条件必须与f'(x)值联立判断，且极值比较需区分局部与全局性质，不能简单依据符号变化下结论。