在矩阵理论中，矩阵 \( A \) 的转置矩阵 \( A^T \) 的秩等于 \( A \) 的秩，这是由矩阵的秩的性质决定的。具体原因如下：
1. 线性变换的不变性：矩阵 \( A \) 和 \( A^T \) 都代表相同的线性变换。线性变换的秩是指该变换能够保持线性独立性的最大维数。由于 \( A \) 和 \( A^T \) 实现的是相同的线性变换，因此它们的秩必然相等。
2. 满秩性：一个矩阵是满秩的，如果它的秩等于其行数或列数。对于 \( A \) 和 \( A^T \)，它们的行数和列数是互换的，但行列式的值（在实数域中）保持不变，这意味着它们都是满秩的。
3. 奇异值分解：矩阵 \( A \) 和 \( A^T \) 的奇异值分解（SVD）相同，即 \( A = U\Sigma V^T \) 和 \( A^T = V\Sigma^T U^T \)。由于 \( \Sigma \)（奇异值对角矩阵）在 \( A \) 和 \( A^T \) 中的位置不变，其非零奇异值的数量也不变，因此它们的秩相同。
4. 行空间和列空间：矩阵的秩等于其行空间或列空间的维数。由于 \( A \) 和 \( A^T \) 的行空间和列空间是相同的（只是基向量的顺序不同），所以它们的秩相同。
综上所述，矩阵 \( A \) 的转置矩阵 \( A^T \) 的秩等于 \( A \) 的秩。
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