要证明魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微，我们可以从以下步骤入手：
首先，魏尔斯特拉斯函数是一种构造的连续但不可微的函数，通常表示为：
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) \]
其中，\(0 < a < 1\)，\(b\)是大于1的正整数。
1. 证明魏尔斯特拉斯函数处处连续：
- 函数的每一项都是连续的，因为余弦函数是连续的，且无穷级数的每一项都是连续的。
- 根据无穷级数的连续性定理，如果一个无穷级数的各项都是连续的，那么这个级数的和也是连续的。因此，魏尔斯特拉斯函数处处连续。
2. 证明魏尔斯特拉斯函数处处不可微：
- 考虑函数的导数：
\[ f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} -a^n b^n \pi \sin(b^n \pi x) \]
- 要证明函数不可微，我们需要证明至少存在一个点，使得该点的导数不存在。
- 考虑函数的任意一个周期点\(x_0 = \frac{b^n \pi}{2}\)，则：
\[ f'(x_0) = -a^n b^n \pi \sin(b^n \pi \cdot \frac{b^n \pi}{2}) = -a^n b^{2n} \pi^2 \]
- 因为\(a < 1\)且\(b > 1\)，所以\(a^n b^{2n} \pi^2 \neq 0\)，即导数在周期点处不为零。
- 然而，由于魏尔斯特拉斯函数的导数是一个振荡无穷级数，它不可能在任意一点上连续，因此该函数处处不可微。
综上所述，魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微。
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